Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是和，以为圆心，3为半径的圆与以为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设椭圆，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A、B两点，射线OP交椭圆E于点Q.

①判断是否为定值？若是定值求出该定值，若不是定值说明理由.

②求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①为定值，定值为2；②.

【解析】

(1) 设两圆的一个交点为P，则，，由椭圆的定义可求出，又离心率为求出，从而可得椭圆C的方程;

(2) ①设P（x0，y0），，可得,将其代入椭圆的方程可得结果;

②设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线与椭圆E的方程联立,利用根与系数的关系表示出弦长，同时直线与两椭圆都有交点，两个判别式大于0，到直线的距离将到直线的距离表示出来，再将面积表示出来求最值可求得结果.

（1）设两圆的一个交点为P，则，，

由P在椭圆上可得，

则，，得，则，

故椭圆方程为.

（2）①椭圆方程，，则，

在射线上，，，

代入可得，

，=2.

②直线为，由①可得为的中点，在直线上，

则到直线的距离与到直线的距离相等，则，

，，联立，，

则，，

=，

联立，得，∴，∴，

，当时，面积的最大值为.