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    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

    （2）若与交于，两点，点的极坐标为，求的值.

    【答案】（1）；（）；（2）.

    【解析】

    （1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，利用，可将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）证明点在曲线上，将直线的参数方程代入的直角坐标方程得关于t的一元二次方程，然后利用直线参数的几何意义进行求解.

    （1）由曲线的参数方程消去参数可得，曲线的普通方程为，

    曲线的极坐标方程为，

    由，可得，曲线的直角坐标方程为（）.

    （2）由点的极坐标为，可得点的直角坐标为，

    所以点在曲线上，

    将曲线的参数方程（为参数）代入，

    得，

    设点，对应的参数分别为，，则，.

    所以.

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    【题目】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是和，以为圆心，3为半径的圆与以为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

    （1）求椭圆C的方程.

    （2）设椭圆，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A、B两点，射线OP交椭圆E于点Q.

    ①判断是否为定值？若是定值求出该定值，若不是定值说明理由.

    ②求面积的最大值.

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    【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线 （为参数， ），直线与曲线相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

    （1）求曲线的极坐标方程及点的极坐标；

    （2）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于在，两点，记的面积为，的面积为，求的值.

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    【题目】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：

    数字形式

    纵式

    横式

    表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.

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    【题目】“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（，2，3，4，5，6），如表所示：

    试销单价x（元）

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    产品销量y（件）

    q

    84

    83

    80

    75

    68

    已知，，

    （1）试求q，若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；

    （2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望.

    （参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）

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    【题目】某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班名学生每周课下钻研数学时间(单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分，数据如下表：

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    30

    38

    44

    48

    50

    54

    （1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为小时其数学考试中的解答题得分；

    （2）从这人中任选人，求人中至少有人课下钻研数学时间不低于小时的概率.

    参考公式：，其中， ；参考数据：

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    【题目】设函数，，

    （1）求曲线过原点的切线方程；

    （2）设，若函数的导函数存在两个不同的零点，，求实数的范围：

    （3）在（2）的条件下证明：

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    【题目】已知函数，其导函数为，函数，对任意，不等式恒成立.

    （1）求实数的值；

    （2）若，求证：.

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    【题目】（本小题满分12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：

    一次购物款（单位：元）

    [0,50）

    [50,100）

    [100,150）

    [150,200）

    [200,+∞）

    顾客人数

    m

    20

    30

    n

    10

    统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）

    （1）试确定的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；

    （2）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物

    款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：

    一次购物款（单位：元）

    [0,50）

    [50,100）

    [100,150）

    [150,200）

    返利百分比

    0

    6%

    8%

    10%

    估计该商场日均让利多少元？

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