Question

【题目】设函数，，

（1）求曲线过原点的切线方程；

（2）设，若函数的导函数存在两个不同的零点，，求实数的范围：

（3）在（2）的条件下证明：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数的几何意义求出直线斜率，点斜式即可求出直线方程；

（2）函数存在两个不同的零点，转化为一元二次方程有两个不同的正根，利用方程根的分布即可求解；

（3）化简，构造函数，利用导数求其最小值即可求证.

（1）设切点坐标为，

所以.

所以切线方程为.

又因为切线过原点，所以

所以，所以

故所求切线方程为.

（2）∵

∴

因为函数的导函数存在两个不同的零点，，

所以方程有两个不同的正根，，

所以

解得.

（3）由，得，则由已知，

∵，

∴

∴

设函数

所以

所以在区间上单调递减

所以