Question

已知命题P：方程x²-2mx+m=0没有实数根；
命题Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．
（1）写出命题Q的否定“￢Q”；
（2）如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据命题的否定定义，写出命题Q的否定“￢Q”；
（2）分别求出命题P，Q为真命题的等价条件，然后利用P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵命题Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．为全称命题，
∴￢Q：?x∈R，x²+mx+1＜0．
（2）若方程x²-2mx+m=0没有实数根，
则△=4m²-4m＜0，解得0＜m＜1，即P：0＜m＜1．
若：?x∈R，x²+mx+1≥0，则m²-4≤0，
解得-2≤m≤2，即Q：-2≤m≤2，
∵“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，
∴P，Q两命题为一真一假，
若P真Q假，则

0＜m＜1 m＞2或m＜-2

，此时无解．
或P假Q真，则

m≤0或m≥1 -2≤m≤2

，解得-2≤m≤0或1≤m≤2．

点评：本题主要考查含有量词的命题的否定以及复合命题真假的应用，求出命题成立的等价条件是解决此类问题的关键．