Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=

2

AB，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）证明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明DE⊥平面SAB即可；
（2）作AF⊥BE，垂足为F，可得∠AEF是直线SA与平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD，
∵DE?平面SAD
∴DE⊥AB．…（3分）
∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）

（2）解：
作AF⊥BE，垂足为F．
由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）
设AD=2a，则AB=

2

a，SA=2

2

a，AE=

2

a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF=

AF

AE

=

2

2

，∴∠AEF=45°
故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确得出线面角，属于中档题．