Question

15．在数列{a_n}中，a₁=20，a₂=30，a_n+1=3a_n-a_n-1（n∈N₊，n≥2）．
（1）当n=2，3时，分别求出a${\;}_{n}^{2}$-a_n-1•a_n+1的值，并判断a${\;}_{n}^{2}$-a_n-1?a_n+1（n∈N₊，n≥2）是否为定值；
（2）若5a_n+1•a_n+1为完全平均数，求满足条件的所有正整数n的集合．

Answer 1

分析 （1）由已知结合数列递推式分别取n=2，n=3求得a₃，a₄的值，构造${b}_{n}={{a}_{n}}^{2}-{a}_{n-1}{a}_{n+1}$，作差说明b_n+1=b_n，结合${b}_{2}={{a}_{2}}^{2}-{a}_{1}{a}_{3}=-500$说明?n≥2，n∈N₊，${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1恒为定值；
（2）由（1）知，-500=${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1=${{a}_{n}}^{2}-（3{a}_{n}-{a}_{n+1}）{a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}-3{a}_{n}{a}_{n+1}$$+{{a}_{n+1}}^{2}$，两边同加501+5a_n•a_n+1得，$5{a}_{n+1}{a}_{n}+1=（{a}_{n}+{a}_{n+1}）^{2}+501$．构造数列
c_n=5a_n+1a_n，要使c_n为完全平均数，则?m∈Z，满足${c_n}={m^2}$，记d_n=a_n+a_n+1，可得$501={m^2}-d_n^2=（m+{d_n}）（m-{d_n}）$，结合501=3×167=1×501，得到关于m与d_n的方程组，求解方程组得到m与d_n的值，再结合{c_n}为单调递增数列得答案．

解答 解：（1）当n=2时，a₃=3a₂-a₁=70，
当n=3时，a₄=3a₃-a₂=180，…
构造${b}_{n}={{a}_{n}}^{2}-{a}_{n-1}{a}_{n+1}$，
${b}_{n+1}-{b}_{n}={{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n}{a}_{n+2}-{{a}_{n}}^{2}$$+{a}_{n-1}{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n}（3{a}_{n+1}-{a}_{n}）$$-{{a}_{n}}^{2}+（3{a}_{n}-{a}_{n+1}）{a}_{n+1}$=0．
又${b}_{2}={{a}_{2}}^{2}-{a}_{1}{a}_{3}=-500$，
∴?n≥2，n∈N₊，b_n=-500．
即?n≥2，n∈N₊，${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1恒为定值；
（2）由（1）知，-500=${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1=${{a}_{n}}^{2}-（3{a}_{n}-{a}_{n+1}）{a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}-3{a}_{n}{a}_{n+1}$$+{{a}_{n+1}}^{2}$，
两边同加501+5a_n•a_n+1得，$5{a}_{n+1}{a}_{n}+1=（{a}_{n}+{a}_{n+1}）^{2}+501$．
不妨令c_n=5a_n+1a_n，要使c_n为完全平均数，则?m∈Z，满足${c_n}={m^2}$，
记d_n=a_n+a_n+1，则$501={m^2}-d_n^2=（m+{d_n}）（m-{d_n}）$，
又501=3×167=1×501，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m-{d}_{n}=1}\\{m+{d}_{n}=501}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m-{d}_{n}=3}\\{m+{d}_{n}=167}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=251}\\{{d}_{n}=250}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=85}\\{{d}_{n}=82}\end{array}\right.$．
即${c}_{n}=25{1}^{2}$或${c}_{n}=8{5}^{2}$，又数列{c_n}为单调递增数列，可求：
${c}_{1}=3001＜8{5}^{2}，{c}_{2}=10501＞8{5}^{2}$，${c}_{3}=63001=25{1}^{2}$．
故满足条件的n的集合为{3}．

点评 本题考查数列递推式，考查逻辑思维能力和推理论证能力，题目（2）的设置，灵活性强，难度较大．