Question

14．数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，又数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差数列，则a₁=3．

Answer 1

分析 由a₃=2，a₇=1求出等差数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的公差，再代入通项公式求出$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，可求出a₁．

解答 解：因为数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差数列，且a₃=2，a₇=1，
所以$\frac{1}{{a}_{7}+1}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{{a}_{7}+1}$-$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{6}$，
设{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}公差为d，则4d=$\frac{1}{6}$，故d=$\frac{1}{24}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{3}+1}$+（n-3）d=$\frac{1}{3}$+（n-3）×$\frac{1}{24}$=$\frac{n+5}{24}$，
故a_n=$\frac{19-n}{n+5}$，
所以a₁=$\frac{19-1}{1+5}$=3．
故答案是：3．

点评 本题考查等差数列的性质、通项公式的应用，属于基础题．