Question

设向量，，m∈R，且
（1）把y表示成x的函数y=f（x）；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根，A，B是△ABC的两个内角，求tanC的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵向量，，m∈R，且
∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0 2’
y=f（x）=mx²+（2m-1）x+m-1 4’
（2）由题意A，B是△ABC的两个内角
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根
∴ 8’
tanA+tanB=，tanAtanB=
∴
∴tanC=1-2m 9’
A，B是三角形的内角，至多一个为钝角，tanA，tanB中至多有一个取负值，且都不为零
若都为正，由韦达定理tanA+tanB=＞0，得，又，可得，故有tanC=1-2m 10’
若一正一负，由韦达定理tanAtanB=＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’
综上 12’
分析：（1）由题意，，，m∈R，且，利用内积为0可得出关于y与x的方程，再用x表示出y即可得到函数y=f（x）；
（2）由于tanC=-tan（A+B），结合公式及tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根利用根与系数的关系即可将tanC用m表示出来，再由题设条件求出m的取值范围，即可求出tanC的取值范围
点评：本题考点是平面向量的综合题，考查了数量积的运算，正切的和角公式，根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，本题的难点是对参数取值范围的讨论，易因为没有考虑方程两根tanA，tanB的符号导致扩大了范围，产生错误，解题时要注意通盘考虑题词设中的限制条件，等价转化，考察了转化的思想方程的思想及分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大，有一个严谨做题的好习惯可避免出错