Question

已知不等式axy≤4x²+y²对于∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：不等式axy≤4x²+y²等价于a≤

4x2+y2

xy

=

4x

y

+

y

x

，设t=

y

x

，则求出函数

4x

y

+

y

x

的最小值即可．

解答： 解：不等式axy≤4x²+y²等价于a≤

4x2+y2

xy

=

4x

y

+

y

x

，设t=

y

x

，
故a≤

4x

y

+

y

x

的最小值即可．
∵x∈[1，2]及y∈[2，3]，
∴

1

2

≤

1

x

≤1，即 1≤

y

x

≤3，
∴1≤t≤3，
则 

4x

y

+

y

x

=t+

4

t

，
∵t+

4

t

≥2

t× 4 t

=4，
当且仅当t=

4

t

，即t=2时取等号．
则 

4x

y

+

y

x

的最小值为 4．
∴a≤4．
故答案为：{a|a≤4}．

点评：本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+

a

x

，a＞0图象的单调性以及应用．