Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；②f（x）在（-1，1）上是单调递增函数，f(

1

2

)=1．
（1）求f（0）的值；   
（2）证明f（x）为奇函数；  
（3）解不等式f（2x-1）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)即可；
（2）令y=-x∈（-1，1），则f(x)+f(-x)=f(

x-x

1-x2

)=f(0)=0；
（3）由f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1

1+ 1 4

)=f(

4

5

)=2可将f（2x-1）＜2化为

-1＜2x-1＜1 2x-1＜ 4 5

，从而解得．

解答： 解：（1）令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）证明：令y=-x∈（-1，1），
则f(x)+f(-x)=f(

x-x

1-x2

)=f(0)=0，
∴f（-x）=-f（x），
则f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（3）由于f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1

1+ 1 4

)=f(

4

5

)=2，
故不等式可化为

-1＜2x-1＜1 2x-1＜ 4 5

，
即

0＜x＜1 x＜ 9 10

，
则0＜x＜

9

10

．
则解集为（0，

9

10

）．

点评：本题考查了函数的奇偶性的证明与单调性的应用，属于中档题．