Question

已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（1）求动点P的轨迹C的形状；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=-2时，过E（1，0）作两条互相垂直直线l₁、l₂，且分别与轨迹C交于A、B两点，探究直线AB是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；否则，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以，
整理得（λ≠0，x≠±1）（3分）
（2）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（7分）
（3）当λ=-2时，轨迹C的椭圆（x≠±1）
由题意知，l₁的斜率存在
设l₁的方程为y=k（x-1），设l₂的方程为y=-（x-1），
将l₁的方程代入椭圆方程中整理得
（x-1）[（k²+2）x-k²]=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂的方程（*）的两个实根，
则x₁=，∴y₁=，即A（，），
同理，得B（，），
∴直线AB的斜率为k_AB==（k≠±1）
∴直线AB的方程为：y+=（x-），
化简得：y=（x+），它恒过点（-，0）
k=±1时，直线AB也过点（-，0）．
∴直线AB过点（-，0）．（13分）．
分析：（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以，由此能够导出动点P的轨迹C的方程．
（2）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．
（3）当λ=-2时，轨迹C的椭圆（x≠±1），由题意知，由题意知，l₁的斜率存在，设l₁的方程为y=k（x-1），设l₂的方程为y=-（x-1），代入椭圆方程中整理得（x-1）[（k²+2）x-k²]=0，由此入手能够求出直线AB的方程，最后根据直线的方程得出它过定点．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和均值不等式的合理运用．