如图.设A.B.C是球O面上的三点.我们把大圆的劣弧BC.CA.AB在球面上围成的部分叫做球面三角形.记作球面三角形ABC.在球面三角形ABC中.OA=1.设BC=a.CA=b.AB=c.a.b．c∈.二面角B-OA-C.C-OB-A.A-OC-B的大小分别为α.β.γ.给出下列命题:①若α=β=γ=π2.则球面三角形ABC的面积为π2,②若a=b=c=π3.则四面体OABC的侧面积为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2010•成都一模）如图，设A、B、C是球O面上的三点，我们把大圆的劣弧

、

在球面上围成的部分叫做球面三角形，记作球面三角形ABC，在球面三角形ABC中，OA=1，设

=a，

=b，

=c，a，b．c∈(0，π)，二面角B-OA-C、
C-OB-A、A-OC-B的大小分别为α、β、γ，给出下列命题：
①若α=β=γ=

，则球面三角形ABC的面积为

；
②若a=b=c=

，则四面体OABC的侧面积为

；
③圆弧

在点A处的切线l₁与圆弧

在点A处的切线l₂的夹角等于a；
④若a=b，则α=β．
其中你认为正确的所有命题的序号是

①②④

．

分析：由α=β=γ=

，知球面三角形ABC是

球体，故球面三角形ABC的面积=

×4π×12=

；由a=b=c=

，知四面体OABC的面积=3×

×1×

，；圆弧

在点A处的切线l₁在OAB面上与OA垂直，圆弧

在点A处的切线l₂在OAC面上与OA垂直，故l₁与l₂夹角等于α；若a=b，则α=β．

解答：解：∵α=β=γ=

，
∴球面三角形ABC是

球体，
∴球面三角形ABC的面积=

×4π×12=

．
故①正确；
∵a=b=c=

，
∴四面体OABC的侧面积=3×

×1×

，
故②正确；
∵圆弧

在点A处的切线l₁在OAB面上与OA垂直，
圆弧

在点A处的切线l₂在OAC面上与OA垂直，
∴l₁与l₂夹角等于α，不一定等于a，
故③不正确；
若a=b，由图形的对称性知，α=β．故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查球面三角形的概率和应用，是基础题．解题时要认真审题，熟练掌握球球面三角形的性质和应用．

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