Question

如图，已知曲线C：y=

1

x

在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次得到一系列点P₁、P₂、…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：三角形P_nP_n+1P_n+2的面积为定值．

Answer 1

考点：数列的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到x_n+1与x_n的关系，利用等比数列的通项公式即可求出．
（Ⅱ）求出SPnQnQnPn+1=

1

2

(

1

2n

+

1

2n+1

)(2n+1-2n)=

3

4

，SPn+1Qn+1Qn+1Pn+2=

3

4

，SPnQnQn+2Pn+2=

15

8

，即可求出三角形P_nP_n+1P_n+2的面积为定值．

解答： 解：（Ⅰ）由y=

1

x

求导得y′=-

1

x2

，
∴曲线C：y=

1

x

在点P（1，1）处的切线方程为y-1=-（x-1），即y=-x+2．
此切线与x轴的交点Q₁的坐标为（2，0），
∴点P₁的坐标为(2，

1

2

)．即x1=2，y1=

1

2

．-------------------（2分）
∵点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*），P_n在曲线C上，所以yn=

1

xn

，
∴曲线C：y=

1

x

在点P_n（x_n，y_n）处的切线方程为y-

1

xn

=-

1

x 2 n

(x-xn)，---（5分）
令y=0，得点Q_n+1的横坐标为x_n+1=2x_n．
∴数列{x_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴xn=2n（n∈N^*）．---------------------（8分）
（Ⅱ）设P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1），P_n+2（x_n+2，y_n+2），
∵SPnQnQnPn+1=

1

2

(

1

2n

+

1

2n+1

)(2n+1-2n)=

3

4

，SPn+1Qn+1Qn+1Pn+2=

3

4

，SPnQnQn+2Pn+2=

15

8

，
∴△P_nP_n+1P_n+2的面积为

15

8

-

3

4

-

3

4

=

3

8

．

点评：熟练掌握导数的几何意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式，三角形面积计算公式是关键．