Question

设函数f（x）=

a

•

b

，

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x）
（1）求f（x）最小值；
（2）若在△ABC中，满足f（A）=2，a=2，且acosB+bcosA=csinC，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由题意结合数量积和三角函数的运算可得可得f（x）解析式，可得其最小值；（2）由（1）结合已知可得A值，再结合正弦定理可得sinC的式子，可得C值，再由三角形的内角和可得B，由a可得b，代入面积公式计算可得．

解答：解：（1）由题意可得f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=1+2sin（2x+

π

6

），
∴当sin（2x+

π

6

）=-1时，f（x）取最小值-1；
（2）由（1）知f（A）=1+2sin（2A+

π

6

）=2，
化简可得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

又∵acosB+bcosA=csinC，结合正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin²C，
由两角和的正弦公式可得sin（A+B）=sin²C，即sinC=sin²C，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0，∴sinC=1，∴C=

π

2

，
∴B=

π

6

，在RT△ABC中，a=2，b=

2 3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

ab=

2 3

3

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及正弦定理的应用，属中档题．