Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，），且与x轴交于点F（2,0）．

（1）求直线l的方程；

（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；

（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点Q，且,当｜｜最小时，求对应值．

Answer 1

（1）∵P（3，），F（2,0），

∴根据两点式得，所求直线l的方程为=

即y=（x-2）．

∴直线l的方程是y=（x-2）．

（2）解法一：设所求椭圆的标准方程为=1（a>b>b）,

∵一个焦点为F（2,0），

∴c=2．

即a²-b²=4     ①

∵点P（3，）在椭圆=1（a>b>0）上，

∴=1  ②

由①，②解得a²=12,b²=8．

所以所求椭圆的标准方程为=1．

解法二：设所求椭圆的标准方程为=1（a>b>0）,

∵c=2,a²-b²=4．    ∴椭圆的另一个焦点为F₁（-2,0）．

由椭圆过点P（3，），

∴2a=|PF₁|+|PF₂|=+=4．

∴a²=12,b²=8．

所以所求椭圆的标准方程为=1．

（3）解法一：由题意得方程组

解得或

∴Q（0，2）．

=（-3,-3）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴=+=（3-3λ，,3λ）．

∴||=

       ==，

∴当λ=时，||最小．

解法二：由题意得方程组解得或

∴Q（0，-2）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴点M在直线PQ上，∴||最小时，必有OM⊥PQ．

∴k_OM=-=-．

∴直线OM的方程为y=-x．

直线OM与PQ的交点为方程组的解，解之得

∴M（，-），∴=（-，-）

∵=λ，即（-，-）=λ（-3，-3），∴λ=．

∴当λ=时，||最小．