Question

已知函数h（x）=2^x，且h（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是偶函数，g（x）是奇函数．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）证明：f（x）是（0，+∞）上的单调增函数；
（3）设F（x）=4a•[g（x）+2^-x-1]+4^x+1，x∈[0，2]，讨论F（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）用-x代替x代入h（x）表达式，利用f（x）、g（x）的奇偶性联解关于f（x）、g（x）的方程组，即可得到f（x）和g（x）的解析式；
（2）设x₂＞x₁＞0，利用单调性的定义将f（x₂）与f（x₁）作差、因式分解，根据指数函数的性质判断各个因式的符号得f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）．由此可得f（x）是（0，+∞）上的单调增函数．
（3）设t=2^x，t∈[1，4]，将函数F（x）化简整理得F（x）=t²+2at+1，再根据二次函数的图象与性质加以讨论，即可得出F（x）的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴h（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=2^-x…①，
又∵h（x）=f（x）+g（x）=2^x…②，
∴①②联解，可得f(x)=

2x+2-x

2

，g(x)=

2x-2-x

2

．
（2）设x₂、x₁是区间（0，+∞）上的任意两个值，且x₂＞x₁，
则f(x2)-f(x1)=

2x2+2-x2

2

-

2x1+2-x1

2

=

2x2-2x1+ 1 2x2 - 1 2x1

2

=

(2x2-2x1)(2x2+x1-1)

2•2x2+x1

．
∵x₂＞x₁，且y=2^x为R上的单调增函数，∴2x2＞2x1．
又∵x₂＞x₁＞0，可得x₂+x₁＞0，∴2x2+x1＞20=1．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
因此，f（x）是（0，+∞）上的单调增函数．
（3）由题意，可得
F(x)=4a•[

2x-2-x

2

+

2-x

2

]+4x+1=4x+2a•2x+1．
设t=2^x，t∈[1，4]，可得F（x）=t²+2at+1=（t+a）²+1-a²．
设g（t）=（t+a）²+1-a²，
可得g（t）是关于t的二次函数，图象为开口向上的抛物线，并于直线t=-a对称
①当a＞-

5

2

时，t=-a＜

5

2

，可得t=4距离对称轴较远，
∴当t=4时函数有最大值，所以y_max=8a+17；
②当a≤-

5

2

时，t=-a≥

5

2

，可得t=1距离对称轴较远，
当t=1时函数有最大值，所以y_max=2a+2．
综上所述，当a＞-

5

2

时，F_max=F（2）=8a+17；当a≤-

5

2

时，F_max=F（0）=2a+2．

点评：本题着重考查了函数奇偶性的定义、利用单调性的定义证明函数的单调性、指数函数的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．