Question

（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求函数f（x）的解析式
（2）已知函数f（x）满足f（x）=4x²+2x+1．设h（x）=f（x）-mx，若已知函数h（x）在[2，4]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求f（x）的解析式．
（2）根据二次函数的单调性与对称轴之间的关系建立条件关系求m的取值范围即可．

解答：解：（1）∵f（x）是一次函数，
∴设f（x）=ax+b，a≠0，
又函数满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17．
即ax+5a+b=2x+17，
∴

a=2 5a+b=17

，解得a=2，b=7，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x+7．
（2）∵f（x）=4x²+2x+1．
∴h（x）=f（x）-mx=4x²+（2-m）x+1．
函数h（x）的对称轴为x=-

2-m

2×4

=

m-2

8

，
要使函数h（x）在[2，4]上是单调函数，
则

m-2

8

≤2或

m-2

8

≥4，
即m-2≤16或m-2≥32，
解得m≤18或m≥34．

点评：本题主要考查一次函数解析式的求法以及二次函数的性质，要求熟练掌握二次函数单调性与对称轴之间的关系．