Question

（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x+3，求f（x）的解析式；
（2）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）；
（3）已知f（x）满足2f（x）+f(

1

x

)=3x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）设f（x）为一次函数的一般形式f（x）=ax+b（a≠0），代入f（f（x））=4x+3后由系数相等求解a，b的值；
（2）根据题目给出的f（

x

+1）=x+2

x

，可以把等式的右边配方出现（

x

+1）和常数的形式，从而求出函数f（x）的解析式，也可以运用换元的方法，令

x

+1=t，解出x后代入函数解析式，然后把变量t换成x即可；
（3）在已知的等式当中，用

1

x

替换x，联立f（x）和f（

1

x

）的二元一次方程组求解f（x）即可．

解答：解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），则f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
由f（f（x））=4x+3，得：a²x+ab+b=4x+3，
所以，

a2=4 ab+b=3

，解得：

a=-2 b=-3

或

a=2 b=1

，
所以，f（x）=-2x-3或f（x）=2x+1；
（2）法一：由f（

x

+1）=x+2

x

=x+2

x

+1-1=(

x

+1)2-1，
所以f（x）=x²-1（x≥1）．
法二：设

x

+1=t  (t≥1)，则x=（t-1）²=t²-2t+1，
所以f（t）=t²-2t+1+2（t-1）=t²-1，
所以，f（x）=x²-1（x≥1）；
（3）由2f（x）+f(

1

x

)=3x①
令x=

1

x

，则2f(

1

x

)+f(x)=

3

x

②
①×2-②得：3f(x)=6x-

3

x

．
所以，f(x)=2x-

1

x

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了运用代入法、配方法和换元法等方法求解函数的解析式，运用换元法求解函数解析式时一定要注意变量的取值范围，学生解答时往往因为忽略这一点而导致求得的函数解析式出错，此题属中档题．