Question

以下说法正确的是

③④

．
①lg9•lg11＞1．
②用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=

1-an+2

1-a

(n∈N*，a≠1)”在验证n=1时，左边=1．
③已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要条件是a+b≥0．
④用分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件．

Answer 1

分析：①由基本不等式可得，lg9•lg11≤（

lg9+lg11

2

）²，利用对数的运算性质即可判断；
②首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=

1-a n+2

1-a

（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．
③由已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，我们可以先判断命题a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的真假，然后根据互为逆否命题的真假性相同，我们也可以得到命题f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）⇒a+b≥0真假；
④利用分析法的定义和分析法证题的方法，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．

解答：解：∵lg9＞0，lg11＞0
∴lg9•lg11≤（

lg9+lg11

2

）²=（

1

2

lg99）2²＜1，故错；
②用数学归纳法证明：“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=

1-a n+2

1-a

（a≠1）”
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a²．故错；
③先证命题：a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）为真．
a+b≥0⇒a≥-b，b≥-a
⇒f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
⇒f（a）+f（b）≥f（-b）+f（-a）．
再证f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）⇒a+b≥0为真，即命题a+b＜0⇒f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
⇒f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
⇒f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命题：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”也为真．
故f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要条件是a+b≥0，正确；
④分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，
此结论就一定成立．故正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查了基本不等式及对数的运算性质的简单应用，考查数学归纳法证明等式的问题，考查分析法的定义和实质，这是用分析法证题的理论依据，它和综合法的过程互逆．属于概念性问题．