Question

以下说法正确的是

①②⑤

．
①在同一坐标系中，函数y=2^x的图象与函数y=(

1

2

)x的图象关于y轴对称；
②函数y=a^x+1+1（a＞1）的图象过定点（-1，2）；
③函数f（x）=

1

x

在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减；
④若x₁是函数f（x）的零点，且m＜x₁＜n，则f（m）•f（n）＜0；
⑤方程2log3x=

1

4

的解是x=

1

9

．

Answer 1

分析：根据底数互为倒数的两个指数函数图象关于原点对称，可判断①的真假；根据函数y=a^x恒过（0，1）点，令函数y=a^x+1+1中x=-1，可判断②的真假，根据反函数 的单调性，可判断③的真假；根据零点存在定理的逆命题为假又，举出反例，可判断④的真假，根据指数运算性质和对数运算性质，解方程可判断⑤的真假．

解答：解：函数y=2^x的底数与函数y=(

1

2

)x的底数互为倒数，故两个函数的图象关于y轴对称，故①正确；
对于函数y=a^x+1+1，当x=-1时y=a⁰+1=2恒成立，故函数y=a^x+1+1（a＞1）的图象过定点（-1，2），故②正确；
函数f（x）=

1

x

在区间（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减，但在（-∞，0）∪（0，+∞）上不具单调性，故③错误；
若x₁=0是函数f（x）=x²的零点，且-1＜0＜1，但f（-1）•f（1）＞0，故④错误；
若2log3x=

1

4

，则log₃x=-2，则x=

1

9

，故⑤正确
故答案为：①②⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了指数函数，对数函数，反比例函数的图象和性质，是函数性质与逻辑的简单综合应用．