Question

（1）已知函数，且f（4）=3．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（2）已知函数y=lg（-x²+4x-3）的定义域为M，求函数f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（4）=3，∴4^m-1=3，解得，m=1，∴，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=
=（x₁-x₂）（1+）
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函数在（0，+∞）上为增函数．
（2）由-x²+4x-3＞0得，x^2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即，
M={x|1＜x＜3}，又f（x）=4^x-2^x+3+4=（2^x）²-8×2^x+4
令t=2^x，∵x∈（1，3），∴t∈（2，8）
f（x）=g（t）=t²-8t+4 t∈（2，8）
由配方得，g（t）=（t-4）²-12 t∈（2，8）
∴f（x）_min=g（4）=-12 又g（8）=4
故函数f（x）的值域为[-12，4）
分析：本题为函数问题，（1）为函数单调性的证明，用定义法，设值，作差，变形，判号，结论，五步曲（2）利用换元法，转化为二次函数在区间的最值问题即可．
点评：本题为函数问题，（1）为定义法证明函数的单调性，（2）利用换元法，转化为二次函数在区间的最值，属基础题．