Question

双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为2

6

，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线l：x=

a2

c

与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若

AP

•

AQ

=0，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设出双曲线的标准方程，依题意联立方程组求得a和c，则b可求得，进而求得双曲线的方程．
（Ⅱ）当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程可得．此时，

AP

•

AQ

≠0，应舍去．进而设出直线PQ的方程与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0求得k的范围，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

AP

•

AQ

=0求得（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，最后联立方程组求得k．则直线方程可得．

解答：解．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知

a2+6=c2 c= 3a2 c

解得a=

3

，c=3
所以双曲线的方程：

x2

3

-

y2

6

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，

AP

•

AQ

≠0，应舍去．
当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k（x-3）．
由方程组

x2 3 - y2 6 =1 y=k(x-3)

得（k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k²-2≠0，即k≠±

2

，
由于△=36k⁴-4（k²-2）（9k²+6）=48（k²+1）＞0得k∈R．
∴k∈R且k≠±

2

（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2= 6k2 k2-2 (1) x1x2= 9k2+6 k2-2 (2)

由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]（3）
∵

AP

•

AQ

=0，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得

9k2+6

k2-2

-

6k2

k2-2

+1+k2(

9k2+6

k2-2

-3

6k2

k2-2

+9)=0
整理得k²=

1

2

，
∴k=±

2

2

满足（*）
∴直线PQ的方程为x-

2

y-3=0或x+

2

y-3=0

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．当涉及求直线方程时，一定要考虑斜率不存在的情况．