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双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为,右焦点为F(c,0)(c>0),直线l:与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若=0,求直线PQ的方程.
【答案】分析:(Ⅰ)先设出双曲线的标准方程,依题意联立方程组求得a和c,则b可求得,进而求得双曲线的方程.
(Ⅱ)当直线PQ与x轴垂直时,PQ方程可得.此时,≠0,应舍去.进而设出直线PQ的方程与双曲线方程联立消去y,利用判别式大于0求得k的范围,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用=0求得(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0,最后联立方程组求得k.则直线方程可得.
解答:解.(Ⅰ)由题意,设曲线的方程为=1(a>0,b>0)
由已知解得a=,c=3
所以双曲线的方程:=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(1,0),F(3,0),
当直线PQ与x轴垂直时,PQ方程为x=3.此时,≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=k(x-3).
由方程组得(k2-2)x2-6k2x+9k2+6=0
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则k2-2≠0,即k≠
由于△=36k4-4(k2-2)(9k2+6)=48(k2+1)>0得k∈R.
∴k∈R且k≠(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)
于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9](3)
=0,
∴(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)得=0
整理得k2=
∴k=满足(*)
∴直线PQ的方程为x--3=0或x+-3=0
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.当涉及求直线方程时,一定要考虑斜率不存在的情况.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为2
6
,右焦点为F(c,0)(c>0),直线l:x=
a2
c
与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若
AP
AQ
=0,求直线PQ的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2007•宝坻区二模)双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为2
6
,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程及离心率;
(Ⅱ)若
AP
AQ
=0,求直线PQ的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为2,相应的焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.

(1)求双曲线的方程及离心率;

(2)若=0,求直线PQ的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为2
6
,右焦点为F(c,0)(c>0),直线l:x=
a2
c
与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若
AP
AQ
=0,求直线PQ的方程.

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