Question

已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（-x）=0，当x∈（0，2）时，f(x)=Inx-ax(a＞

1

2

)，当x∈（-4，-2），f（x）的最大值为-

1

4

，则a=（　　）

• A．4
• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由f（x）为奇函数可得f（x+2）-2f（x）=0，即f（x+2）=2f（x），从而可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），则f（x）=

1

4

f（x+4），当x∈（-4，-2）时，（x+4）∈（0，2），从而可求得f（x）表达式，再利用导数即可求得f（x）的最大值，令其为-

1

4

，即可解得．

解答：解：因为f（x）为奇函数，
所以f（x+2）+2f（-x）=0即f（x+2）-2f（x）=0，则f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2），
所以f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），
当x∈（-4，-2）时，（x+4）∈（0，2），此时f（x）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[ln（x+4）-a（x+4）]，
则f′（x）=

1

4

（

1

x+4

-a）=-

a(x+4- 1 a )

4(x+4)

，当-4＜x＜-4+

1

a

时，f′（x）＞0，f（x）递增，当-4+

1

a

＜x＜-2时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以当x=-4+

1

a

时f（x）取得最大值-

1

4

，即f（-4+

1

a

）=

1

4

(ln

1

a

-a×

1

a

)=-

1

4

，解得a=1，
故选D．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性及其应用，考查函数最值的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．