Question

已知

1

3

＜a＜1，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表达式；
（2）若对一切a∈(

1

3

，1)都有kg（a）-1＜0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=ax²-2x+1配方化为f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，由

1

3

＜a＜1可求1＜

1

a

＜3，求得N（a）；根据f（x）的对称轴x=

1

a

在区间[1，3]的位置情况分类讨论，求得M（a），从而求得g（a）的解析表达式；
（2）对g(a)=

a+ 1 a -2         ( 1 3 ＜a＜ 1 2 ) 9a+ 1 a -6       ( 1 2 ≤a＜1)

，分段研究函数的单调性，从而可求得各段上g（a）及

1

g(a)

的取值范围，及k满足的关系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解决问题．

解答：解：（1）f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

x∈[1，3]
由

1

3

＜a＜1知，1＜

1

a

＜3．从而N(a)=1-

1

a

∴当1＜

1

a

≤2即

1

2

≤a＜1时，M（a）=f（3）=9a-5
当2＜

1

a

＜3即

1

3

＜a＜

1

2

时，M（a）=f（1）=a-1
∴g(a)=

a+ 1 a -2         ( 1 3 ＜a＜ 1 2 ) 9a+ 1 a -6       ( 1 2 ≤a＜1)

（2）当

1

3

＜a＜

1

2

时，g(a)=a+

1

a

-2为减函数．
∴

1

2

＜g(a)＜

4

3

．
要使kg（a）-1＜0恒成立，则k＜

1

g(a)

恒成立．而

3

4

＜

1

g(a)

＜2
∴k≤

3

4

．
又当

1

2

≤a＜1时，g(a)=9a+

1

a

-6=9(a+

1 9

a

)-6为增函数
∴

1

2

≤g(a)＜4
要使kg（a）-1＜0恒成立．则k＜

1

g(a)

恒成立．而

1

4

＜

1

g(a)

≤2
∴k≤

1

4

综上得，k≤

1

4

．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想及恒成立思想的应用，中档题．