Question

设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

；
（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．
（2）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A?B，转化为集合关系．

解答：解：由x²-4ax+3a²＜0，（x-3a）（x-a）＜0，又a＞0，
所以a＜x＜3a…．（2分）
由满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

；
得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…..…．（4分）
（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3…（6分）
（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，
设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A?B，
则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2…（12分）

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．