Question

已知一椭圆经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点
（1）求椭圆方程；
（2）若P为椭圆上一点，且，P，F₁，F₂是一个直角三角形的顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求|PF₁|：|PF₂|的值．

Answer 1

解：（1）∵，
与之有共同焦点的椭圆可设为，代入（2，-3）点，
解得m=10，或m=-2（舍），故所求方程为．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，
则，
于是|PF₁|：|PF₂|=2．
②若∠F₁PF₂=90⁰，则，，，
∵△＜0，∴无解，即这样的三角形不存在，
综合1，2 知，|PF₁|：|PF₂|=2．
分析：（1）由题意可得，可设所求椭圆方程为 ，代入（2，-3）点，解得m=10，或m=-2（舍），得到所求方程．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，，由椭圆的定义可得，
于是|PF₁|：|PF₂|=2． ②若∠F₁PF₂=90⁰，则，，，由△＜0 知无解，即这样的三角形不存在．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出|PF₁|和|PF₂|的值，是解题的关键．