Question

10．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA₁=$\sqrt{2}$，则异面直线BD₁与A₁D所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），即可求出异面直线BD₁与A₁D所成角的余弦值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则B（1，0，0），D₁（0，1，$\sqrt{2}$），
A₁（0，0，$\sqrt{2}$），D（0，1，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
∴异面直线BD₁与A₁D所成角的余弦值等于|$\frac{1-2}{\sqrt{1+1+2}•\sqrt{1+2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线BD₁与A₁D所成角的余弦值，考查向量知识的运用，属于中档题．