Question

已知函数f（x）=ln

1-ax

x-1

（a≠1）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：函数g（x）=f（x）-2x在区间[

9

8

，

5

4

]上有唯一零点（参考数据：ln3≈1.099，ln17≈2.833）

Answer 1

考点：函数的零点,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义、对数的运算法则即可得出．
（2）先判定函数g（x）的单调性，再利用函数零点存在定理即可得出．

解答： （1）解：∵函数f（x）=ln

1-ax

x-1

（a≠1）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=ln

1+ax

-x-1

+ln

1-ax

x-1

=ln

1-a2x2

1-x2

=0，
∴

1-a2x2

1-x2

=1，∴a²=1且a≠1，解得a=-1．
∴f（x）=ln

x+1

x-1

．
经过验证满足题意．
（2）证明：函数g（x）=f（x）-2x=ln

x+1

x-1

-2x=ln(1+

2

x-1

)-2x在区间[

9

8

，

5

4

]上单调递减，
且g(

9

8

)=ln17-

9

4

＞0，g(

5

4

)=2ln3-

5

2

＜0，
∴g(

9

8

)•g(

5

4

)＜0，
因此函数g（x）在区间(

9

8

，

5

4

)由零点且有唯一零点．

点评：本题考查了奇函数的定义、对数的运算法则、函数的单调性、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．