Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y+2=0．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数几何意义，导数的几何意义、切点坐标的应用，得到关于a，b的方程组，解得即可．
（Ⅱ）利用导数求出函数的单调区间即可．

解答： 解：（I）∵f'（x）=3x²+2bx+c，
∴k=f'（1）=3+2b+c=-3①，
又∵f（1）=-5∴-5=1+b+c②，
由①②解得：b=0，c=-6． 
（Ⅱ）当b=0，c=-6时，f（x）=x³-6x，
∴f′(x)=3x2-6=3(x2-2)=3(x+

2

)(x-

2

)，
令f'（x）＞0得：x＜-

2

或x＞

2

令f'（x）＜0得：-

2

＜x＜

2

∴函数f（x）增区间为：(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)，减区间为：(-

2

，

2

)．

点评：本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的单调性，待定系数法求解析式，属于基础题．