Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-6x+a，则不等式f（x）＜|x|的解集是（　　）

• A． （0，7）
• B． （-5，7）
• C． （-5，0）
• D． （-∞，-5）∪（0，7）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质先求出a的值，以及函数的解析式，进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-6x+a，
∴f（0）=0，即a=0，即当x≥0时，f（x）=x²-6x，
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=x²+6x=-f（x），
即f（x）=-x²-6x，x＜0，
当x≥0时，不等式f（x）＜|x|等价为x²-6x＜x，即x²-7x＜0，即0＜x＜7，
当x＜0时，不等式f（x）＜|x|等价为-x²-6x＜-x，即x²+5x＞0，即x＞0或x＜-5，此时x＜-5，
综上不等式的解为0＜x＜7或x＜-5，
即不等式的解集为（-∞，-5）∪（0，7），
故选：D

点评 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．