Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{4}$sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$），其中A，B是△ABC的内角，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分别是角A，B，C的对边，当角C最大时，求$\frac{ab}{c^2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由两向量的坐标，根据两向量垂直时数量积为0列出关系式，整理即可求出tanA•tanB的值；
（2）根据（1）的结论判断得到tanA与tanB都大于0，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出tanC的最大值，以及此时tanA与tanB的值，进而求出c为最大边时，tanA，tanB以及tanC的值，求出sinC与sinA的值，原式利用正弦定理化简，计算即可求出值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{4}$sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即$\frac{5}{4}$sin²$\frac{A+B}{2}$+cos²$\frac{A-B}{2}$-$\frac{9}{8}$=0，
整理得：-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0，即cosAcosB=9sinAsinB，
∴tanA•tanB=$\frac{1}{9}$；
（2）∵tanA•tanB=$\frac{1}{9}$＞0，且A、B是△ABC的内角，
∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{9}{8}$（tanA+tanB）≤-$\frac{9}{8}$×2$\sqrt{tanAtanB}$=-$\frac{3}{4}$，
当且仅当tanA=tanB=$\frac{1}{3}$取等号，
∴c为最大边时，有tanA=tanB=$\frac{1}{3}$，tanC=-$\frac{3}{4}$，
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{4}{5}$，cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$，sinB=sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：$\frac{ab}{c^2}$=$\frac{sinAsinB}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{9}{25}}$=$\frac{5}{18}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，平面向量的数量积的运算，以及正弦定理，熟练掌握基本关系是解本题的关键．