Question

已知

a

=(cosα+sinα，cosα)，

b

=(m，sinα)，（α∈(

π

12

，π]，m∈R）
（1）求函数f(α)=

a

•

b

解析式
（2）求函数y=f（α）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积，直接得到函数解析式．
（2）利用换元法t=sinα+cosα化简函数的表达式，结合α∈(

π

12

，π]，m∈R推出元的范围，利用二次函数在闭区间的最值的求法，分类讨论m的值，求出函数的最小值．

解答：解：（1）f(α)=

a

•

b

=m(cosα+sinα)+sinαcosαα∈(

π

12

，π]（5分）
（2）因为（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα，令t=sinα+cosα，
则sinαcosα=

t2-1

2

，所以f(α)=

1

2

t2+mt-

1

2

（6分）
而t=sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，
由α∈(

π

12

，π]知(α+

π

4

)∈(

π

3

，

5π

4

]，
所以sin(α+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
所以t=

2

sin(α+

π

4

)∈[-1，

2

]
令y=g(t)=

1

2

t2+mt-

1

2

，  t∈[-1，

2

]（8分）
二次函数对称轴为t=-m
当-m＜-1，即m∈（1，+∞）时，函数y=g（t）在t∈[-1，

2

]上单调递增，此时y_min=g（-1）=-m
当-1≤-m≤

2

，即-

2

≤m≤1时，ymin=g(-m)=-

m2+1

2

当-m＞

2

，即m＜-

2

时，函数y=g（t）在t∈[-1，

2

]上单调递减，
此时ymin=g(

2

)=

1

2

+

m

m＜-

2

m＞1-

2

≤m≤1综上可知ymin=

-m - m2+1 2 1 2 + m

（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，二次函数闭区间的最值求法，考查计算能力，换元法的方法，分类讨论思想的应用．