Question

已知

a

=

cosωx，sinωx

，

b

=

cosωx+ 3 sinωx， 3 cosωx-sinωx

（ω＞0），函数f(x)=

a

•

b

的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调递减区间及对称中心；
（2）求函数f（x）在区间

π 4 ， π 2

上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，写出函数f（x）的表达式，然后化积为y=2sin（2ωx+

π

6

），根据周期为π求出ω的值，解析式可求，因为得到的函数是复合函数，且内层为增函数，所以直接让正弦函数符号后面的代数式属于正弦函数的减区间求解x的范围，对称中心就是函数f（x）的图象与x轴的交点；
（2）根据x∈[

π

4

，

π

2

]，求出相位的范围，则最值可求．

解答：解：（1）f（x）=cocωx（cosωx+

3

sinωx）+sinωx（

3

cosωx-sinωx）
=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
所以，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，∈Z
得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z
所以，f（x）的单调减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，(k∈Z)
由2x+

π

6

=kπ，得x=-

π

12

+

kπ

2

，k∈Z
所以，对称中心为(-

π

12

+

kπ

2

，0)，k∈Z
（2）因为

π

4

≤x≤

π

2

，

2π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

所以-1≤2sin（2x+

π

6

）≤

3

．
所以函数f（x）在区间

π 4 ， π 2

上的最大值为

3

，最小值为-1．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算及两角差的正弦函数，解答的关键是写出数量积的坐标表示，然后正确化积，最后化为y=Asing（ωx+Φ）的形式解题，属常规题型．