Question

已知

a

=(2sin(x+

θ

2

)，

3

)，

b

=(cos(x+

θ

2

)，2cos2(x+

θ

2

))，f(x)=

a

•

b

-

3

（1）求f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ，使f（x）为偶函数；
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算并且结合二倍角公式与两角和的正弦公式可得：f（x）=2sin(2x+θ+

π

3

)．
（2）由（1）并且结合题意可得：θ=kπ+

π

6

，k∈Z，再根据θ的范围即可得到答案．
（3）由（2）可得：f（x）=2cos2x，再利用余弦函数的性质可得：x=kπ±

π

6

，k∈Z，进而结合x的取值范围得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：
f(x)=

a

•

b

-

3

=2sin(x+

θ

2

)•cos(x+

θ

2

)+

3

[2cos2(x+

θ

2

)-1]
=sin(2x+θ)+

3

cos (2x+θ)
=2sin(2x+θ+

π

3

)，
所以函数f（x）的解析式为：f(x)=2sin(2x+θ+

π

3

)．
（2）因为f（x）为偶函数，
所以结合（1）可得：θ=kπ+

π

6

，k∈Z，
又因为0≤θ≤π，
所以θ=

π

6

．
（3）由（2）可得：f（x）=2cos2x，
∵f（x）=1，
∴由余弦函数的性质可得：x=kπ±

π

6

，k∈Z，
又∵x∈[-π，π]，
∴x=-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

∴x的集合为x∈{-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握余弦函数的性质，如奇偶性、值域等性质，本题考查了两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、向量数量积的坐标运算等知识点，此题综合性较强考查的知识点比较基础，是考试命题的热点之一，只要在做题时认真仔细即可得到全分．