Question

已知

a

=(2sinωx，cosωx)，

b

=(

3

cosωx，2cosωx)(ω＞0)，f(x)=

a

•

b

，f(x)图象相邻两条对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由数量积的定义和三角函数的公式可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

）+1，又可得

T

2

=

π

2

，由周期公式可得ω的值；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由于当x∈[0，

π

2

]时，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，得到f（x）的范围，即得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx+1
=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
∴函数的周期为T=

2π

2ω

=

π

ω

．
又由图象相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，
则

π ω

2

=

π

2

，解得ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
由于当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
得到f（x）∈[0，3]
故f（x）的值域为[0，3]．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，涉及向量的数量积的运算，属中档题．