Question

在平行四边形ABCD中，BC=2AB=2，∠B=60°，点E是线段AD上任一点（不包含点D），沿直线CE将△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直线CE上，则AD′的最小值是（　　）

• A．

  4- 3

• B．

  4- 2

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：利用面面垂直的性质定理、余弦定理、勾股定理、正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：如图所示：在图2中，过点D作DF⊥CE，垂足为F点，连接AF，D^′F．
∵沿直线CE将△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直线CE上，
∴平面D^′CE⊥平面ABCD．
∴D^′F⊥平面ABCD，∴D^′F⊥AF，
∴AD^′2=D^′F²+AF²．
设∠CDF=θ，0°≤θ≤60°，则DF=CDcosθ=cosθ，∠EDF=60°-θ．
在△ADF中，由余弦定理得AF²=2²+cos²θ-2×2cosθ×cos（60°-θ），
∴D^′A²=4+2cos²θ-4cosθ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)=4-

3

sin2θ，
当且仅当sin2θ=1，即2θ=90°，θ=45°时，取得最小值，且AD′的最小值是

4- 3

．
故选A．

点评：熟练掌握面面垂直的性质定理、余弦定理、勾股定理、正弦函数的单调性是解题的关键．