Question

4．设M是焦距为2的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上点N（x₀，y₀）处切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设点P（2，t），切点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可得直线CD的方程，再令y=0，即可得到定点．

解答 （1）解：设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即n²=b²•$\frac{{a}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
由k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即为a²=2b²，又c²=a²-b²=1，
解得a²=2，b²=1．
即有椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）证明：设点P（2，t），切点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则两切线方程PC，PD分别为：$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
得：x₁+y₁t=1，x₂+y₂t=1，
故C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）均满足方程x+ty=1，
即x+ty=1为CD的直线方程．
令y=0，则x=1，
故CD过定点（1，0）．

点评 本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．