Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，设∠BAC=x，记f（x）=AB．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）D是AB边的中点，若f(x)=

3

3

，求CD长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由∠ABC与∠BAC的度数，利用内角和定理表示出∠ACB的度数，利用正弦定理列出关系式，表示出AB，即可确定出f（x）的解析式，求出定义域即可；
（Ⅱ）由f（x）的值，以及f（x）解析式求出x的值，确定出三角形为等腰三角形，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的长．

解答：解：（Ⅰ）∵∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，
∴∠ACB=

π

3

-x，
由正弦定理

AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

得：AB=

1×sin( π 3 -x)

sin 2π 3

=

2 3

3

sin（

π

3

-x），
∴f（x）=

2 3

3

sin（

π

3

-x）（0＜x＜

π

3

）；
（Ⅱ）∵f（x）=

2 3

3

sin（

π

3

-x）=

3

3

，
∴sin（

π

3

-x）=

1

2

，即

π

3

-x=

π

6

，
解得：x=

π

6

，
∴△ABC为等腰三角形，即AB=BC=

3

3

，BD=

1

2

AB=

3

6

，
在△BCD中，利用余弦定理得：CD²=BC²+BD²-2BC•BDcos∠ABC=

1

3

+

1

12

+

1

6

=

7

12

，
则CD=

21

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．