Question

椭圆两个焦点为F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），点P是椭圆上的点，且△PF₁F₂的周长是4+2

2

，则椭圆的标准方程是

 

．

Answer 1

分析：根据△PF₁F₂的周长是4+2

2

且焦距为|F₁F₂|=2

2

，算出2a=|PF₁|+|PF₂|=4，可得a=2，再由平方关系算出b=

a2-c2

=

2

，即可得到所求椭圆的标准方程．

解答：解：∵椭圆两个焦点为F₁（-

2

，0）、F₂（

2

，0），
∴椭圆的焦距为|F₁F₂|=2

2

．
∵△PF₁F₂的周长是4+2

2

，
∴|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=4+2

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=4．
根据椭圆的定义，可得2a=|PF₁|+|PF₂|=4，得a=2，
又∵c=

2

，∴b=

a2-c2

=

2

，可得a²=4，b²=2．
因此，椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案为：

x2

4

+

y2

2

=1

点评：本题给出椭圆的焦点坐标与焦点三角形的周长，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．