Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°则椭圆离心率的取值范围是

[

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．在△PF₁F₂中，由余弦定理得x12=

4c2-a2

3e2

．再由x₁²∈（0，a²]，能求出椭圆离心率的取范围．

解答：解：设P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos60°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得 x12=

4c2-a2

3e2

．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤

4c2-a2

3e2

＜a2，
即4c²-a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

1

2

．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[

1

2

，1）．
故答案为：[

1

2

，1）．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．