Question

【题目】设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且，（其中O为坐标原点）．

（1）求证：直线必与x轴交于一定点Q，并求出此定点Q的坐标；

（2）过点Q作直线的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）88.

【解析】

（1）设直线的方程为，，联立消得，，由韦达定理得，，根据，得，由此解方程即可得到本题答案；

（2）由弦长公式，得，，所以四边形的面积，通过换元法，利用函数的单调性即可求得本题答案.

（1）证明：易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， ，，

由消得， ，

则，且 ，

由，得，

解得，或（舍去），

所以，可得，即直线的方程为，

所以直线恒过定点 ；

（2）由（1）得， ，

同理， ，

因为，所以四边形的面积

，

令（，当且仅当时等号成立），

则，易知函数在上是增函数，所以当时，取得最小值88，故四边形面积的最小值为88.