Question

【题目】已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为的等腰直角三角形.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）直线与椭圆交于点A、B，线段的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为的重心，试问：的面积S是否为定值，若是，求出这个值；若不是，求S的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为定值.

【解析】

（1）依题意可得：，解得，可得椭圆的方程.

（2）若直线的斜率不存在，由已知可得，，可求得的面积S；若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，直线与椭圆的方程联立可得，则，，，由点为的重心，设，求得点P的坐标，代入椭圆的方程中得到m与k的关系，再运用三角形的面积公式求得的面积，得出结论.

（1）依题意得：，解得，所以椭圆的方程为.

（2）若直线的斜率不存在，因为点O为的重心，所以，，

所以的面积.

若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，

即，联立化简得，

则，，

由题意点为的重心，设，则，，

所以，，代入椭圆，

得，整理得，

设坐标原点到直线的距离为，则的面积

.

综上可得的面积为定值.