Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N^*），则a₁a₂a₃…a₂₀₁₂的值为（　　）

• A． 2
• B． -3
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 通过计算，找出该数列的周期，进而计算可得结论．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
…
由此可得规律：从第1项开始，按2，-3，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$循环，每4个循环一次，
∵2012=503×4，
∴a₁a₂a₃…a₂₀₁₂=[2×（-3）×（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$]⁵⁰³=1，
故选：D．

点评 本题考查数列的周期性，注意解题方法的积累，属于中档题．