Question

4．（Ⅰ） 数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，先计算数列的前四项，再归纳猜想通项a_n；
（Ⅱ） 用分析法证明：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据S_n=2n-a_n，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．总结出规律求出a_n；
（Ⅱ）寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，即证$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，即证 42＞40．

解答 （Ⅰ）解：由a₁=2-a₁，得a₁=1，
由a₁+a₂=2×2-a₂，得a₂=$\frac{3}{2}$，
由a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，得a₃=$\frac{7}{4}$，
由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，得a₄=$\frac{15}{8}$，
猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）证明：要证$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$，
只要证 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，
只要证$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，即证 42＞40． 
而42＞40显然成立，故原不等式成立．

点评 本题考查归纳猜想，考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．