Question

已知不等式［log₂n］?,其中n为大于2的整数,［log₂n］表示不超过log₂n的最大整数,设数列{a_n}的各项为正,且满足a₁=b(b＞0),a_n≤,n=2,3,4,….?

(1)证明a_n＜,n=3,4,5,….?

(2)猜测数列{a_n}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明).?

(3)试确定一个正整数N,使得当n＞N时,对任意b＞0,都有a_n＜.

Answer 1

解析:(1)证法一:∵当n≥2时,0＜,?

∴,?

即.?

于是有?

, ,…,.?

由不等式两边相加可得?

.?

由已知不等式知,当n≥3时有?

［log₂n］.?

∵a₁=b,?

∴［log₂n］=,a_n＜.?

证法二:设f(n)=++…+,首先利用数学归纳法证不等式a_n≤,n=3,4,5,….

①n=3时,由a₃≤,?

知不等式成立.?

②假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,?

即a_k≤,?

则a_k+1≤?

=

≤

=

=

=,?

即当n=k+1时,不等式也成立.?

由①②知,a_n≤,n=3,4,5,….??

又由已知不等式得?

a_n＜,n=3,4,5,….?

(2)有极限,且a_n=0.?

(3)∵,?

令,?

则有log₂n≥［log₂n］＞10?

n＞2¹⁰ =1 024,?

故取N=1 024,可使当n＞N时,都有a_n＜.