Question

四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

Answer 1

四边形ABCD是矩形

【错解分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。
【正解】四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：
由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)^２＝（с＋ｄ）²
即｜ａ｜^２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜^２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，
∴｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｄ｜^２①
同理有｜ａ｜^２＋｜ｄ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｂ｜^２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜
即四边形ABCD两组对边分别相等
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，
代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。
综上所述，四边形ABCD是矩形。
【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。