Question

用数学归纳法证明不等式：

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

＞1（n∈N^*且n＞1）．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答：证明：（1）当n=2时，左边=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

＞1，∴n=2时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k2

＞1
那么当n=k+1时，左边=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

(k+1)2

=

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k2+2k

+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

1

k2+1

+

1

k2+2

+…+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+(2k+1)•

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

k2-k-1

k2+2k+1

＞1
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．