Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1Cl中，M，N分别为CC1 ， A1B1的中点．
（I）证明：直线MN∥平面CAB1；
（II）BA=BC=BB1 ， CA=CB1 ， CA⊥CB1 ， ∠ABB1=60°，求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）设AB1与A1B交于点O，连接CO，ON，

因为四边形ABB1A1是平行四边形，所以是O是AB1的中点，

N是A1B1的中点，所以 ．

又因为M是CC1的中点，所以 ．

所以CM ON，所以四边形CMNO是平行四边形，

所以MN∥CO．

又因为MN平面CAB1，CO平面CAB1，

所以直线MN∥平面CAB1

（Ⅱ）因为AB=BB1，所以平行四边形ABB1A1是菱形，所以BA1⊥AB1．

又因为CA=CB1，所以CO⊥AB1．

又CA⊥CB1，且O是AB1的中点，所以AO=CO．又因为BA=BC，所以△BOC≌△BOA，

所以∠BOC=∠BOA，故OC⊥OB，从而OA，OB，OC两两垂直．

以O为坐标原点，OB，OB1，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OB=1，因为∠ABB1=60°，BA=BB1，

所以△ABB1是等边三角形，所以 ，B（1，0，0）， ， ．

因为OA，OB，OC两两垂直，所以OB⊥平面AB1C，

所以 是平面AB1C的一个法向量；

设 =（x，y，z）是平面A1B1C1的一个法向量，则 ，即 ，令 ，得 ，所以 = ，

所以 = = = ．

所以平面AB1C和平面A1B1C1所成的角（锐角）的余弦值为

【解析】（Ⅰ）设AB1与A1B交于点O，连接CO，ON，说明O是AB1span>的中点，证明四边形CMNO是平行四边形，推出MN∥CO．然后证明直线MN∥平面CAB1．（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OB1，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OB=1，求出相关点的坐标，求出平面AB1C的一个法向量；平面A1B1C1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面AB1C和平面A1B1C1所成的角（锐角）的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．