Question

已知(1+x+x2)(x+

1

x3

)n的展开式中没有常数项，n∈N^*，且4≤n≤9，则n的值可以是

5和9

．

Answer 1

分析：设T_r+1是(x+

1

x3

)n的通项公式，则T_r+1=

C

r n

xn-r(

1

x3

)r=

C

r n

xn-4r．（r=0，1，2，…，n）．对于(1+x+x2)(x+

1

x3

)n，当1+x+x²中的1与T_r+1中的常数项相乘时，或x 与T_r+1中的含x^-1的项相乘时，或x²与T_r+1中的含x^-2的项相乘时，会出现常数项．
即满足n-4r=0，-1，或-2时，会出现常数项．由于4≤n≤9，经验证即可得出．

解答：解：设T_r+1是(x+

1

x3

)n的通项公式，则T_r+1=

C

r n

xn-r(

1

x3

)r=

C

r n

xn-4r．（r=0，1，2，…，n）．
对于(1+x+x2)(x+

1

x3

)n，当1+x+x²中的1与T_r+1中的常数项相乘时，或x 与T_r+1中的含x^-1的项相乘时，或x²与T_r+1中的含x^-2的项相乘时，会出现常数项．
即满足n-4r=0，-1，或-2时，会出现常数项．
∵4≤n≤9，∴n=4，6，7，8时满足出现常数项．
因此n≠4，6，7，8．可得n=5，9．
故答案为5或9．

点评：本题考查了二项式定理的通项公式和常数项，属于中档题．